ة من تلك الخاصة بخوارزمية التشفير؛ تولد المفاتيح الفرعية
الفصل الرابع: الحقول المنتهية
165 عنصا
التعاريف الرئيسة
قانون التجميع للعملية :186 88800611078 لطا - 2.(ط.ة)
هي مجموعة من العناصر او الارقام؛ مع مجموعة من العمليات الجبري (عملية واحدة في
وجود عنصر محايد للعملية :ع 7و1ئا1060 1188
وإذا كانت العملية تبادلية .1 - 8.0؛ سميت الزمرة بالزمرة التبادلية جرتضيع سممتاعطة.
وتسمى الزمرة بالزمرة الدورية 007عع 0116/م؛ إذا استطعنا توليد جميع عناصر الزمرة برفع عنصر ثابت
منها إلى اسس مرتبة؛ يسمى العنصر الثابت بمولد الزمرة حيث :
8 هو مولد الزمرة هناء إذا كان “توح يمثل جميع عناصر الزمرة؛ من اجل قيم مختلفة ل عا.
- عملية الضرب تجميعية ©8880018076؛ مغلقة؛ توزيعية 8011000176 نل بالنسبة لعملية الجمع أي أن:
- وإذا كانت عملية الضرب تملك نظائر (دون قا فري)؛ فإنه تشكل فضائي تكامليا/ متمما 01:ع1016
« الحقل 171610: هو مجموعة مكونة من عناصر او ارقام مع عمليتين يحقق:
- زمرة تبديلية بالنمبة للعملية الاولى (الجمع).
-يحقق شروط الحلقة للمجموعة مع العمليتين.
يعتني بتعريف مؤثر الموديل 000 الذي يحقق :
هو باقي قسمة م على العدد دز
نستخدم التعبير 101001 تا إذا كان باقي قسمة أي من العددين دارع على هو نفسه؛ مثلا:
يمكن عمل جدول خاص بكل عدد صحيح يسمى 1 00100010 يحتوي على جميع العناصر المتقابلة عند
المؤثر 100؛ عليها.
مثل جدول يوضح موديلو للعدد ‎١‏ ع 1زحتنة<12 7 0400010 :

م القاسم 18018وثتل
نقول ان العدد الصحيح غير الصفري ( انه قاسم ل م إذا كان يوجد عدد صحيح زن: بحيث أن : 5 . ددر و ؛ وهذا
يعني ان يقبل القسمة على «ا بدون باقي.ويرمز لهما ب وإنا.مثلا الاعداد 1,7,7,4,1,4,17,74 كلها تقسم العدد
يمكن تعريف الموديل الحسابي لأي زمرة من الاعداد الصحيحية مثلا:
1ح ...0,1 فقا
قال قا ها ها نار قا قاع
8 مانم ممنتسهم له
» القاسم المشترك الاعظم (6670) 01فتح1ط تم ته :0160168 :
مسآلة مشهورة في نظرية الاعداد؛ القاسم المشترك الاعظم 600 للعددين ا ,و هو اكبر عدد صحيح
العددان القسمة عليه (يقسمهما)؛ مثلا (007)60,24 هو العدد ‎١١‏
‏خوارزمية إقليدس للقاسم المشترك الأعظم ةنوعلم 66 1206108 :
هي طريقة مشهورة لتسهيل عملية للحصول على ال (001؛ وتنص على أن :
القاسم المشترك الاعظم لعددين يساوي القاسم المشترك لأحدهما مع باقي قسمة الآخر عليه.
(600)7,850 تؤول إلى (000)7,7 وذلك لأن 3 -101007 80؛ وحساب عوامل ال “ اسهل بالتأكيد
من حساب عوامل ال ‎٠‏ 8. وهكذا..
ء حقول جلويس 601018716108 :
هي حقول منتهية؛ تلعب دورا هاما في نظريات وطرق التشفير.
ِ يمكننا يمكننا الحصول على عدد من العناصر في حقول منتهية 16105 ع150114 بشرط ان اساس لعدد اولي
من الشكل ‎١2“‏ يرمز بالرمز ("01700؛ وفي العادة يتم استخدام الحقول المولدة من الشكلين:
وهذا الشكل يحقق شروط الحقول المنتهية؛ وتتميز هذه الحقول بتطبيق عمليات الجمع والظرب (وبالتالي القسمة
والطرح) دون الخروج عن حدد المجموعة.
المثال الموضح في الجدول ادناه يوضح نواتج الحقل ( * ,(76)7):

وبخصوص كثيرات الحدود فإننا نهتم بموديلو ‎١‏ حيث تكون المعاملات اما ‎٠‏ أو ‎١‏ .
فعند جمع كثيري حدود يتم إعتبار المعاملين ‎١,٠‏ فيكون ناتج جمع وضرب كثيري الحدود؛ كما في المثال
1ج + 2د 0)ع علصة 2د + قر
الفصل السابع: المصادقة بإستخدام التشفير المتماثل
عمتام حمست عت سسدرة عم ت1 جتنتمتاه ته
مم1 7 ©©16 توزيع المفاتيح
ِقَة التمائلية 06:6 يشترك كل طرف في مفتاح سري عام.
» القضية هي كيفية توزيع هذا المفتاح بطريقة موثوقة.
. يمكن إستخدام مفتاح مشفر مستخدم في اتصال سابق؛ لتشفير مفتاح جديد.
الثالث بعملية تبادل المفاتيح بين الطرفين أ ؛ ب.
‎٠‏ سيناريو توزيع المفاتيح متيدا866 ترمتال 1501 1-60
المفاتيح ««12150:011410 (©16؛ اما الثلاث الاخيرة (الخطوة الثالثة مصنفة في الخطوتين) فتسمى بخطوات
المصادقة؛ اوالتأكد من الهوية ودع متاقعثا60 20001 .
ممت يداك مك1

» قضايا توزيع المفاتيح فم 1550 متكت 1و1 1667 :
إن هيكلية التوزيع مطلوبة في الشبكات الكبيرة؛ لكن يفترض وجود ثقة متبالة بينها.
يكون عمر دورة حياة جلسة توزيع المفاتيح «ع:1 8888101 محدودا من أجل امنية افضل
في حالة كان النظام موثوقا بالامكان جعل جلسة المفاتيح مؤت
الفصل الثامن : مدخل إلى نظرية الاعداد
تجتمع111 بن هتيل 10 010 0عل1:10:001
هي اعداد صحيحة 11117565لز ©1018 لا تملك سوى قاسمين هم الواحد الصحيح والعدد نفسه مثلا الاعداد
7ر5 ,1 اعداد اولية.
تشكل الاعداد الاولية مركز نظرية الاعداد.
ه تحليل الاعداد الاولية إلى عواملها (01ت1ة178610118 عستترط :
تحليل العدد وهو عملية كتابته على شكل ناتج مجموعة من الاعداد الصحيحة مضروبة مع بعضها 1-8
م التحليل الاولي الى عوامل هو كتابة العدد على شكل اعداد اولية مضروبة مع بعضها مثلا :
91-3 والعدد 3600243252
ن تعريف العددين الصحيحين انهما اوليا ا (اوليان فيما بينهما) إذا كان العامل المشترك لهما هو الواحد
(15 ,1,7,5 ) مما يعني عدم وجود عدد مشترك بخلاف الواحد بينهما.
تستخدم هذه النظرية في خوارزميات إنشاء المفتاح العام.
(المقلصة)/ المنقصة هي مجموعة الاعداد الاولية نسبيا مع زر
دالة أولر هي عدد العناصر الاولية نسبيا مع ؛ ويرمز لها بالرمز (ت)ه.
ولحساب دالة اولر للعدد الصحيح « أو عدد الاعداد الاولية النسبية ل « فإنه:
وهما الطريقتان التين اثبتهما اولر لحساب قيمة دالته؛ وذلك بالاستعانة بنظرية فيرمات.
م نظرية اوثر ح 711601 151016118
1121رة) 00 عطس 1- تاوموكو ‎١‏
‎٠‏ مثالين على ذلك:

الفصل التاسع: تشفير المفتاح العام و خوارزمية 188/8
تستخدم هذ ف ن؛ إذا تم كش الاتصل تم فضح هذه الرقم؛ ولا يحمي المرسل من
تزييف المستقبل لرسالة ولاس لاسن المرسل.
م تشفير المفتاح العام بودادرة ع مادو نو ج1ع11حانط :
تعتبر من افضل الطرق على مدى 9000 عام من تاريخ التشفير؛ تستخدم مفتاحين عام وخاص؛ تسمى بالتشفير
متكاملة بشكل افضل من التشفير بالمفتاح الخاص.
ع تعريف التتفير بالمفتاج لع إيالمفتاحين/الغير متمائل عتياع يدوه 2/ نوكلاه دا / برعت تاطاناتز
هو طريقة تشفير تعتمد مفتاحين:
المفتاح العام 167 : هو مفتاح قد يكون معلوما للجميع؛ ويستخدم لتشفير الرسائل وللتحقق من التوقيعات.
المفتاح الخاص 108 : معروف فقط للمستقبل؛ يستخدم فقط لفك الشفرة؛ وللتوقيع/ إنشاء التوقيع ‏
وقد سمي بغير المتمائل ع 88170001603 لأن هؤلاء الذين يشفرون او يفحصون التوقيع لا يستطيعون فك شفرتهم او
إنشاء التوقيع نفسه.
الشكل ادناه يوضح هذه المنتظومة.
ماساصيرت! بطل
« الماذا يتم استخدام طريقة المفتاح العام:
- توزيع المفاتيج م 7(©:!: كيف يمكن إلحصول على اتصل محمي/آمن بشكل عاب
دون النظر في صوابية عملية توزيع المفاة
قيع الالكتروني ا 1 :
ه ضمان وصول الرسالة نفسها بشكل سليم من
الشخص المرسل.
يعزى اختراع المفتاح العام إلى العالمين ديفي و هيلمان في جامعة ستانفورد في 1459776 م.
خصائص المفتاح العام : ِ
إن خوارزميات توليد المفتاح العام تعتمد على الخصائص التالية:
‎.١‏ العملية الحسابية لإيجاد فك الشفرة غير ممكنة عملياء أو غير مجدية.
8 عملية فك الشفرة ممكنة بالنسبة للطرف الذي يعرف المفتاح.
الشكل التالي يوضح منظومة التشفير بالمفتاح العام:

المفاتيح العامة :
تطبق هذه الطريقة في ثلاثة طرق عامة تقريبا:
ال وفك التشفير لإعطاء السرية.
التصديق أو التأكد من الهوية.
- مثل المفاتيح الخاصة يستطيع المهاجم عمل بحث رياضي موسع وإيجاد المفاتيح من الناحية النظرية.
- ولذلك تستخدم اعداد كبيرة جدا كمفاتيح (اكثر من 07 بتا).
تعتمد السرية هنا على الفجوة الكبيرة والمعقدة بين سهولة التشفيروفك التشفير مقابل صعوبة مسائل تحليل التشفير.
- بشكل عام فإن المسألة الصعبة مصدرها صعوبة تطبيق إيجاد المفتاح عمليا في الواقع؛ ويشترط لذلك
استخدام اعداد كبيرة جدا .
- وعلى هذا الاساس فإن التشفير الغير متمائل أبطء مقارنة بالتشفير المتماتل.
عام 5177م قدمت وهي من اشهر الطرق في التشفير التمائلي؛
عوامل بالنسبة للأعداد الكبيرة.
« شرح خوارزمية 288:
را ا اتح والاستقبال بتوليد مفتاحه العام؛ وذلك بتنفيذ الخوارزمية التالية:
. يختار عددين اوليين كبيرين عشوائيا وليكونا 7 و 0.
3 يتم حساب عدد الموديلو المستخدم0 وذلك بإيجاد ناتج ضربهما حيث:
0 . 0 17 مع ملاحظة ان ذلك يعني ان ( (1-1 ) (1- 0) 25(2) 6 ).
“.يتم اختيار عدد عشوائيا كمفتاح خاص بشرط كونه اصغر من عدد الاعداد الاولية النسبية
مع 27 اي يكون العدد » اقل من (17) © وبالطبع اكبر من الواحد الصحيح؛ وان يكون
القاسم المشترك الاعظم للمفتاح ع مع ( 17 ) © هو الواحد الصحيح؛ اي ان يكون اوليا
بالنسبة ل (27) 0. يرمز لهذا الشرط كالتالي:
)600 ,> >1 تعدا
اجل الحسبوك »على مفتاج تقك الشقرة يتم الحصبول حلى العذذاق» والذى مستطيع حسايه
‎٠‏ تعتمد صعوبتها على تعقيد التحليل إلى
0 2 فلم ركه تمسح 8

©. يكون المفتاح العام مكونا من الصيغة (8,17)-1617؛ حيث 117 ترمز للمفتاح العام؛ الذي
سوف يتم توزيعة بعد ذلك.
+. يتم الاحتفاظ بشكل سري بالمفتاح الخاص؛ والذي يفك شفرة المفتاح العام؛ والمكون من
الصيغة (1©2-40,0,0؛ حيث 1618 ترمز للمفتاح الخاص.
يقوم المرسل بتشفير الرسالة؛ ولتكن 1 وذلك بتطبيق المفتاح العام عليها (07-682© لتنتج الرسالة المشفرة ©
وذلك بالصورة :
27> 11 >0 عنعن ,11017 "11 - ©
إن الشرط المطبق على الرسالة 08 يعني ان يطبق على القالب :0100 الذي يتم تمريره على الخوارزمية من اجل
3 شفرة الرسالة ©؛ يتم في الواقع باستخدام المفتاح الخاص لصاحب المفتاح العام المستخدم في التشفير؛ واضح
جدا ان مطبق عملية التشفير يعجز عن فك الشفرة وذلك لأن حساد دالة تيوشن اويلر ( 17 )0 ؛ يتعقد كلما كبر
العدد 27؛ بينما مالك المفتاح الخاص يعلم ان الدالة ( 27 )8 يمكن الحصول عليها بإستخدام العددين 0,[؛ المكونان
لصيغة المفتاح الخاص به.
يتكون المفتاح الخاص من (1©28-40,0,0,؛ وعن طريقه يستطيع المستقبل حساب قيمة 3 في الدالة:
تحليل خوارزمية م/188:
7 - لز "(ل). از ح ترتطتيح. أزيز - لاير - تتح حت
مثل على الخوارزمية:
تج عتمم :1-(500)6:160 866016 -
(23,17,11)ح2ج1 ترعيا عتمتعتم العو م166 -
الفصل العاشر: إدارة المفاتيح؛ نظم تشفير اخرى للمفتاح العام
توزيع المفتاح العام برع ج1ع تاحاناطئزه 0181111013
يتم ذلك بعدة طرق هي:
المفتاح العام بجاتيميتاية 2-166 1 بنط
؛.شهادات المفتاح العام معأوعترتا1عه توا ت1تا0ط

: ‏الاعلان العام‎ ١
عملية اعلان المفتاح العام بواسطة البريد او الاذاعة او مجموعات الاخبار؛ وهذه الطريقة لها سلبيات هي سهولة
التزييف؛ اي منتحل يستطيع عمل مفتاح عام وتوزيعه على الجميع كأنه جزء من المجموعة؛ وحتى يتم اكتشافه
يستطيع الاستمرار بالتنكر بذلك.
-دليل عام:
يحتوي على بيانات الاسم وال فتاح العاب يسجل فيه المشتركون اولاء يستطيع المشترك تغيير المفتاح في اي لحظة
يتم نشر الدليل بطريقة دورية؛ يتم الوصول إلى الدليل بطريقة الكترونية.
مازال الدليل عرضة للسطو من قبل المحتالين والمزيفين.
كما يوضح الشكل انتاد؛ فهي طريقة اكثر انضباطا وتحكما من الدليل العا» تملك نفس الخصائص السابق ذكرها
للدليل؛ بالا إلى وجود مفتاح عام خاص بالهيئة/ الدليل» يتم التواصل بعد ذلك بالدليل (الهيئة) لطلب اي مفاتيح
عامه؛ تحتاج إلى وصول فوري (©1681-001) مع الهيئة عند الاحتياج.
ص11 ‎١‏ سي (ها + رفسلا امسوم زلا
)2( ‏رعسل اللكعسومة الات ] ميرت‎ ١
اسم نظ 6 ب
؛ ‏ شهادات المفتاح العام:
كما يوضح الشكل ادناه؛ فهذه الطريقة تجمع ميزات الطرق السابقة؛ بالاضافة إلى انها لا تجعلك تحتاج إلى ان
تسابق الزمن من اجل الوصول إلى الهيئة الوسيطة! كما في الطريقة السابقة؛ يتم دمج الشهادة مع اسم التعريذ
للعضو مع المفتاح العام (احيانا مع معلومات اخرى اضافية)؛ ثم التوقيع على هذه الحزمة من قبل الهيئة التي تصدر

عقاف برع كع تايط
يقوم المرسل باستخدام هذه الشهادة التي تحتوي على هويته ومفتاحه العام؛ في عمليات التراسل مع طرف آخرء
يملك معلومات مشابهة عن طريق هيئة اصدار الشهادات.
يتم استخدام الوسائل السابقة من اجل توزيع المفاتيح العامة وذلك لضمان السرية والتعرف على الهوية؛ ولكن
خوارزميات المفتاح العام مازلت بطيئة؛ ولذلك فما زلنا ترغب في استخدام المفتيح الخاصة من اجل تشفير محتوى
الرسائل؛ ولهذا يتم استخدام جلسة توزيع المفاتيح (تستخدم فيه المفاتيح العامة لتشفير المفاتيح الخاصة؛ التي تستخدم
بدورها لتشفير الرسائل المتبادلة)؛ هناك عدة طرق لتفنيذ جلسات توزيع المفاتيح هذه .
ه الطريقة البسيطة لتوزيع المفاتيح 018010106106 166 ا560:6 ع انق
قدمت عام 49م بواسطة ماركل؛ يقوم المرسل بتوليد مفتاح عام يبداً به الجلسة ....8؛ ومن عيوب هذه الطريقة
سهولة انتحال شخصية احد الطرفين من قبل المهاجم.
طريقة ديفي هلمان لتبادل المفاتيح عع درةد1ء15 بوك1 سسقمسلاك تا 5ط
من اول النظم المقدمة لتوزيع المفاتيح؛ في عام 996١م‏ بواسطة العالمين ديفي وهلمان؛ وهي طريقة عملية لتوزيع
المفاتيح؛ وتستخدم حاليا على نطاق واسع في المجال التجاري.
> تستخدم فقط لإنشاء جلسة توزيع مفاتيح عامة.
> معروفة فقط للمشتركين الاثنين ؛ المرسل والمستقبل.
تعتمد هذه الطريقة على الرفع للقوة؛ في الحقول المنتهية (حقل جلويس)؛ موديل عدد اولى او كثيرة حدود ‏ وهي
طريقة سهلة
تعتمد سرية هذه الطريقة على صعوبة حساب اللوغاريتم المتقطع؛ (عملية عكس الرفع للاس)؛ وهي معقدة بشكل
مشابه للتحليل إلى عوامل في طريقة (8.48)؛ وهي مسألة معقدة.
يقوم كل طرف بتوليد المفتاح الخاص به؛ بإختيار عدد صحيح اقل مني (مثلا المرسل كر يقوم باختيار العددمج +
0م)؛ وعن طريقه يحسب المفتاح العام رز بالقنون (و ومسيآه حم
» فإذا كان المفتاح المختار للمرسل ير هو ,و وللمستقبل 13 هو وو فإن جلسة تبادل المفاتيح تكوّن م1 حيث:
وهذه الصيغة للحساب تدى المستقيل (عتتتتريف تنو 3 عنام و1100 لزلز د ورك