القسم الأول : الأساسيات

القسم الأول : الأساسيات 151101718159
لفهم أغلب الشفرات الحديثة يلزم فهم الكثير من نظريه الأعداد تيرمع :11 «»270015؛ ولكن بما
أن الكتيب يركز على الشفرات بالطرق الكلاسيكية فسوف نتناول ما يهمنا فقّط في الوقت الحالي .
وسوف تكون القواعد مكتوبة ولكن من غير إثبات رياضي لها 2:0:8؛ يمكنك تجاوز هذا القسم
7 ميعء لان 9*3-
لدينا 3/9؛ و 9|72؛ اذا 3 تقسم 72 - 3/27
خوارزمية القسمة 81.605177411 511/151611 7115
وهي أحد الخوارزميات المهمة جدا ؛ حيث تقول انه يمكننا أن نمثل أي عدد صحيح ؛ وذلك
بواسطة ضرب عدد صحيح ا مع اضافه باقي : بحيث يكون الباقي عدد موجب وأقل من العدد نا .
هو حاصل القسمة 000606 . « هو الباقي :©00:ةة(ا©< . ‎1١‏ هو المقاسوم :11150 +
مثال لدينا المعادلة :
2 وتساوي 65 .

مثال أخر :
بقسمه 21- على 5 ؛ سوف نحصل على حاصل القسمة 4- ؛ والباقي سوف يكون -1؛ ولكن كما
ذكرنا في القاعدة السابقة أن الباقي « دائما يكون موجب ؛ لذلك نقوم بجمع 5 في الباقي ؛ ونطرح
1 من حاصل القسمة
ليكون لدينا 5- < و 6 4
نطبقها في المعادلة :
5-4 21 وهو صحيح .
الأعداد الأولية 67 00010// 5111016 :
تلعب الأعداد الأولية تلعب دورا كبيرا جدا في التشفير وخاصة في الطرق الحديثة ؛ وتعريفها
كلتلي :
؛ هو العدد الصحيح ««: »دة أكبر من 1 .ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى
مثال على أعداد أوليه :
2و 3 و7و 23 و29 و 163 والكثير غيرها .
مثال على أعداد مركبه :
4 (حيث أنها تقبل القسمة على 2 )
00 (تقبل القسمة على 2 و 5) .
مثال على أعداد غير أوليه وغير مركبه
0 و 1 وجميع الأعداد السالبة ؛ متل -21 .
جميع الأعداد الصحيحة التي أكبر من 1 ؛ لها
الأعداد الأول
وهذا معناه اذا أردنا أن نعرف على العدد « هو أولي أم لا ؛ سوف نبحث من البداية 2 (لان واحد
ليس أولي) إلى أن نصل إلى جذر العدد » . ونختبر كل عدد من هذه الأعداد ؛ هل يقب » القسمة
عليها ؛ في حال تحقق ذلك ؛ نكون قد عرفنا أن العدد ليس أولي ؛ وإذا لم يتحقق فيكون العدد
أولي .

مثلا لدينا العدد 101 ؛ نبداً بالاختبار من 2؛ إلى جذر 101 وهو 10.
النتيجة أن العدد 101 هو عدد أولي .
هذه الطريقه في البحث ليست من أفضل الطرق في اختبار أوليه العدد ؛ وهناك الكثير من الطظرق
أفضل منها؛ وهي تسمى طريقة تمتفتر 11811 .
مثلا لدينا عدد ضخم يتكون من 500 خانه . بعد أخذ الجذر التربيعي أصبح يتكون من 250 خانه
‎١‏ الآن طريقة 116103 11181 سوف تكون مضيعه للوقت والجهد لأنها سوف تَ
البداية وحتى ذلك العدد الذي يتكون من 250 خانه ؛ لذلك للتعامل مع الأعداد الضخمة (كما هو
الحال في الشفرات الحديثة) يجب البحث عن حل أكثر كفائه .
بالتفصيل ؛ ولكن يمكن لتسريع الأمر اختبار الأعداد الفردية فقط في طريقه «01 01151 11181 .
أيضا هنك طريقه 0011704050115 ©5160 ؛ وهي تعتمد على عمل إلغاء جميع مضاعفات
الأعداد 2 و 3و5 و7 من مدى الأعداد المراد البحث .
مثال للتوضيح؛ نريد معرفه الأعداد الأولية بين 2 إلى 99 ؛ تقوم بعمل جدول فيه جميع تلك
الأعداد (في الغالب يكون في مصفوفة) ؛ بعدها نقوم بشطب مضاعفات العدد 2 من الجدول »

القاسم المشترك الأعظم 0171/1507 60110100 3624654 (اختصارا 6670 )
مثلا نريد معرفه القاسم المشترك الأكبر للعددين 30؛ 18 . تقوم بمعرفه جميع قواسم العددين +
ونأخذ العدد الأكبر من هذه القواسم :
0 يقبل القسمة على 1و 2و3و 5و 6و 10و 15و30
8 يقبل القسمة على 1 و 2 و3و 6و 9و 18
نلاحظ في الأعداد السابقة أكبر قاسم يقبل القسمة على العددين وهو 6 .
الأزواج التالية من الأعداد أولينا فيما بيتهما عدصت 186188761 :
8 و 9؛ لأن القاسم المشترك الأعظم لهم هو 1 .

مثال : لحسب القاسم المشترك الأعظم للأعداد 28 و 126 219 د 10 :
لاحظ النتيجة هي واحد ؛ بلرغم من أن هناك زوج من الأعداد غير أوليان فيما بينهما +
مثال :القاسم المشترك للأعداد 18 و 9 و 25 هو 1 ومع ذلك فهي جا حطقاء» بوللمنطسدر
©ة(؛ لان القاسم المشترك الأعظم ل 18,9 هو 9 (أي هما ليسا أوليان فيما بينهما) .
القاعدة السابقة مهمة جدا ؛ ونستطيع من خلالها إيجاد القاسم المشترك الأعظم للعددين بسرعة .
مثال : أوجد القاسم المشترك الأعظم 132 و 55 باستخدام خوارزمية أقليدس :
نتوقف عند الوصول إلى الصفر ء ويكون القاسم المشترك الأعظم هو 11 وذلك :
مثال أخر : أوجد (252,198) 0610© باستخدام خوارزمية أقليدس ؟

نتوقف عند الصفر ؛ والقاسم هو 18 :
يمكن ناس الام ال" أ اس أي جم اللا ايا الا
مع عددين آخرين ؛ وذلك كالتالي : تو*يو + 5
لمعرفة هذه القيم (الطرق هي مشابه لبعض ؛ لكن يمكن القول أنها مختصره من الأخريات) .
الطريقه الأولى ؛ وهي يمكن أن نطلق عليها التراجع 0«ه»138©10؛ وهنا في هذه الطريقه نقوم
بلحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها نقوم بالتراجع الخلفي ؛ لإيجاد يم «: و « . كما في
المثال التالي :
مثال ؛ قم بتمثيل (26,21 060 خصمنامستطصه «مع0ل1آ للعددين 26و 21 :
ونتوقف عند الصفر . الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر (وهي في حالتنا هذه
المعادلة الثائية ) نقوم بكتابتها بهذا الشكل :
أيضا المعادلة الأولى بنفس الشكل :
نجمع 21 + 4*21 ليكون لدينا النائج النهائي :
نتأكد من النتيجة ؛ 4*26- + 5*21 والناتج يساوي واحد ؛ اذا المعادلة صحيحة .
(في الفصل القادم ؛ سنرى أن و «: يسمى معكوس العدد ).

مثال : أوجد معكوس المعادلة 26 1501 3-د ؟
الحل ؛ أولا تقوم بتطبيق خوارزمية اقليدس الممتدة ؛ على العددين 3و 26 . كالتلي :
الآن العدد المجاور ل 3 هو المعكوس ؛ وهو 9.
الطريقه الثانية ؛ وهي أسهل وأسرع بكثير ؛ وسوف نشرحها بنفس المثال السابق:
مثل ؛ قر بتمثيل (26,21 600 قصمةامستطسه0 «مع«ش1 للعددين 26و21 :
ابإنشاء جدول ؛ ونضع هذه القيم فيه :
في أخد باقي قسمه 26 على 21 والناتج نضعه في نفس العمود أسفل 21 .
ونضع 5 أسفل 21 .
باقي قسمه 21 و 5 والناتج نضعه أسفل 5 ؛ وهو 1؛ والمرة الأخيرة الباقي
هو) وسوف نتوقف عنده .
هو 4؛ ونستمر هكذا .

الآن في العمود ؛ نقوم بوضع أخر قيمتين 0 و 1 ؛ كما في الشكل
الآن لكي نحسب الصف الثاني في العمود ء نقوم بالأتي ؛ 194+ 420
ن اللتان يقعان في الصف الأسفل مباشره ونجمع الناتج مع القيمة في العمود
نفس الأمر مع السطر الأول : 1 + 4*1 5
وبهذا نكون عرفنا معكوس العدد الأول والثاني ( أو د و «) .