تلك عدد لا نهائي من المستويات و أي مستوى يمكن أن يحتوي عل
عدد لا نهائي من العقد بامتناء المستوى صف
2- سنفترض أن جميع الأشجار تملك عدد منته من العقد
3- سنفرض أن الذرية لأي عقدة من الشجرة تكون مرتبة خطيا مما يعني أنه لو فرضنا أن
العقدة تملك أريع ثريات فإنتا نفرض أنها مرتبة وبالتالي ترمز للترثيب ب الأول والثاتي
ة المرتبة أو المنتظمة ( عع:1 0:08:0)
- 17علاقة غير انعكاسية
1-2 علاقة غير تناظرية
- إذا كان7 > (م,ط) 677 (5,م) عندئذ7 ع (©,»4) من أجل أي عقدة
مثل -4
لتكن «/ مجموعة تشمل امرأة ما معطية ن» وكل أحفادها نساء
757 دسم 77 أمديل
وعندئذ تكون العلاقة 1 شجرة و ,» جذرهاً
مثال -5-
ألو مالو طامطلا بول
إن العلاقة 7 شجرة وجذرها ,» وبيانها

تعريف -5-
إذا كان « عدد صحيح موجب نقول عن الشجرة أنها غير منتهية 0-188 إذا كانت كل عقدة
تملك على الأكثر « ذرية 108م005 من أجل كل عقدة في 1 مختلفة عن الأوراق
تعريف -6-
إذا كان « عدد صحيح موجب نقول عن الشجرة أنها تامة 0-088 000101618 إذا كانت كل
عقدة تملك بالضبط « ذرية 808م003 من أجل كل عقدة في 1 مختلفة عن الأوراق
في حالة خاصة 2-088 تدعى بالشجرة الثنائية التامة أو الشجرة الثنانية عع) /ويقورط
تعريف -7-
لتكن ( ,» , 1) شجرة ذات الجذر على المجموعة «/ وليكن «عقدة في الشجرة 7 ولتكن 3[
مجموعة تضم جميع عقد الجيل الثالث والتي يمكن أن تكون موصولة بطريق بدايته العقدة ‎١١‏
‏ولنفرض أن برج ع وليكن ()7 مقصور 7 على 3 والتي تعني (101)8*13-(7)0
عندئذ: ()7شجرة جزئية ذات الجذر ‎٠‏
مبرهنة -3-
ونقول عن (1)0 أنها شجرة جزئية ععتإتانني بدايتها ‎١‏
البرهان
من التعريف (1)7 نرى أنه هناك طريق من » إلى أي عقدة أخرى في (7)0 و إذا كانت
ها عقدة في ()1 تحقق أنه يوجد طريقان مختلفان ل و أ من ‎١‏ إلى /لا
و بما أن 7 شجرة جثرها ,1
م كل طريق من » إلى أي عقدة / في (1)0 يجب أن تكون وحيدة
أيضا » دائرة في (1)0
- 0 دائرة في 1
وهذا يناقض المبرهنة الأولى
_, 0 لا يمكن أن يكون موجودا بالتالي ()7 شجرة جذرها ‎«٠‏

الأشجار ذات الأللة موئر) 1وع 1ع 1ر1[
في بعض الأحيان من المفيد أن نضع دليل على كل عقد في مخطط بياني ما والذي يستخدم
الهدف ما أو لغاية محدودة في العديد من المجالات ولاسيما علم الحاسوب وعلم الأحياء
تعريف -8-
ملاحظة :
الشجرة الموضعية هي الشجرة المرتبة (المنتظمة )
عند رسم المخططات للشجرة الموضعية ستتصور من أجل كل عقدة مرتبة بشكل متمائل
عند المواضع اليسارية واليمينية
مثال -6-
ليكن لدينا العبارة الجبرية (:+3)-(6-2)) +((** 2) - 3)
سنفترض أنه لا يوجد عمليات مثل - , + , * , / يمكن إنجازها ما لم نعرف العنصرين
المشكلين وفق عملية الجمع دون معرفة قيمة ((**2)-3) و ((<+3)-(2-))
وأيضا لا نستطيع حساب عملية الطرح ((*+3) -(4-2)) دون معرفة قيمة («+3) :(2-*)
إن التمثيل التخطيطي مهم لمثل هذه التعابير والذي هو عبارة عن شجرة ثنائية ذات الأدلة

مثال -7-
ليكن لدينا التعبير (((00/ )+ 7) * (((0+42 - 7) + 4)) / (1-0)* 3)
عندنذ الشجرة الموافقة للتعبير السابق هي
إن وحدة خزن المعلومات المثالية والتي ندعوها بالخلية تحتوي على مادتين
الأولى : البيانات المصنفة 10818
الثانية : مؤشر للخلية التالية :01016
المؤشرات ندعوها برابط القائمة 1:88 101620 الممثلة بيانيا والمزودة بأدوات تستعمل
الصف ترترصنة
تعريف -2-
رابط القائمة المضاعفة 1:52 1101680 17ا0ه20 التي فيها كل خلية تحتوي على
مؤشرين ونوع من البيانات

التمثيل البياني للشجرة ذات الرايطة القائمة المضاعفة
نستخدم الرمز --_للدلالة على خلية جديدة في منتصفها نزودها بالوحدة المخزنة
بيانيا ومؤشرين مؤشر يساري 0010182 1.811 ومؤشر يميني ©001018 1818111 ممثلين
بالنقاط والأسهم كما نستعمل الرمز للدلالة على المؤشر المطابق أو عدم
وجود بيانات ويكون عندئذ البيان هو
1-كل افق عقدة
ٍّ - جزء البيان والذي يمكن أن يحتوي رمز للعقدة أو مؤشر يدل على هذا الرمز
- المؤشرات اليمينية واليسارية ستخصص ليسار ويمين عقد الذرية
ل - إذا كان أحد هذه الذريات غير موجودة فإن المؤشر الموافق سيكون
5 - ننفذ هذه الخطوات باستخدام ثلاثة أسهم :
1 - الأيسر ويحمل المؤشرات التي تدل على الذرية اليسرى ع 013:10 1.68
- الأيمن ويحمل المؤشرات التي تدل على الذرية اليمنى ع10:م0115 181811
6- القيمة (0) تستخدم كمؤشر يدل على الذرية الموافقة الغير موجودة
7- نضيف عادة إلى رابط القائمة المضاعفة و إلى الأسهم خانة البداية والتي تشير !!
جذر الشجرة
مثال -8-

إن تمثيل الشجرة الموضعية الثنائية تكون وفقا للصفوف البيانات و

تشفير حيثمان يبو عون سمستله11
إن تشفير هوفمان من أجل الرسائل المكتوبة بأحرف إنكليزية يستخدم أشرطة من الواحدات
و الأصفار تماما كما هو الحال في الآسكي 00 85011 ذات الطول 7 إلا أن تشفير
هوفمان يستخدم الأشرطة ذات الطول المتغير وبالتالي فإن الرسائل المكتوبة بشيفرة 85011
يكون طولها أكبر فيما لو كتبناها بشيفرة هوفمان
إن الشريط الخاص بحرف معين سوف يعطينا طريقا من جذر الشجرة إلى الورقة التي تحمل
رمز ذلك الحرف أو بمعنى آخر المرمزة وفق ذلك الحرف
إن الصفر (0) يدل على أنه يجب التوجه إلى اليسار
إن الواحد (1) يدل على أنه يجب التوجه إلى اليمين
حتى نشفر رسالة وفق هوفمان علما أن شجرة هوفمان معطاة نتبع مايلي :
1 - تتبع الطريق المشار إليه عندما نصل إلى الورقة نسجل الدليل الموضوعة عليه
2- نعود إلى الجذر ونكمل وفق الشريط
مثال -9-
استخدم تشفير هوفمان الشجري لترجمة الشريط 0101100
المعطى وفق الشجرة
1 - نبدأ بالجذر ونتجه نحو اليسار مستخدمين الصفر ...ل
فنجد إن الورقة التي وصلنا إليها تحمل الدليل 3[ ب
2- نعود إلى الجذر ونستخدم الشريط 01100 [وبالتالي نتجة
إلى اليمين ثم لليسار فتكون الورقة التي نبحث عنها هي 8
نكرر العملية مع الشريط 1100 فيكون الحرف 5
0 فيكون الحرف 5[
عندئذ الشريط 0101100 يمثل ]15/85
ملاحظة
إن أحد مساوئ شيفرة هوفمان هو احتمال حدوث أخطاء أثناء عملية النقل
فمثلا إذا كان الخطأ أثناء النقل كأن يعطى الشريط 0101110 بدلا من 0101100
بالتالي الكلمة سوف تقرأ 2818 بدلا من ]1585

شجرة البحث ببج1ع2117: 1122
مخ وت ا لل في الشجرة بالضبط في ترتيب
أو التبير عن الشجرة ‏
الذرية اليساري لكل عقدة » من 7 بالرمز ,» أما الذرية اليمينية نرمز له بالرمز ‎1١‏ .
2- لتكن لدينا 7شجرة ثنائية موضعية جذرها » , عندئذ في حال وجود ‎١,‏ نسمي )7
بالشجرة الجزئية اليسارية ل 7 .
وندعو في حال وجود م» أن (م»)1 بالشجرة الجزئية اليمينية ل "1
إن كلا من ال/)1 , (ي7)7 في حال وجودهما ستكونان أشجار ثنائية موضعية ذات
الجذر ‎٠‏ ,م» على الترتيب .
: ‏ويمكن القول أن بحث 0م يتضمن ثلاث خطوات‎
الجذر لهذه الشجرة هو العقدة ذات الدليل 8 , ولنفرض أن زيارة أي عقدة 7 6 « يعطي
دليل (1006160) هذا العقدة .
لنطبق الآن بحث :060808 مع ملاحظة أنه في حال أن الشجرة تحوي عقدة واحدة لها
عندئذ تكون نثيجة بحث هذه الشجرة هي دليل هذا االعقدة (والذي هو جذر الشجرة)
ويمكن تسهيل العمل من خلال رسم صناديق حول الأشجار الجزئية وترقيم الصناديق

ووفقا ل ©0800 وبتطبيقها على 7 سوف نقوم أولا” بزيارة الجذرل 7 ونكتب 8 ثم
نبحث في الشجرة الجزئية (1) , ثم في الشجرة الجزئية (7) ,
لتطبيق :0880808 على الشجرة الجزئية (1) نقوم بزيارة الجذر في الشجرة
الجزئية (1) ونكتب 13 , ثم نقوم ببحث في الشجرة الجزئية (2) ثم نبحث في الشجرة
الجزئية (4) .
حيث أن البحث في الشجرة الجزئية (2) يعطينا بداية الرمز © ثم []( بسبب بحث في
الشجرة الجزئية (3) ) وبالتالي لدينا النتيجة المبدئية : (301م .
نلاحظ أنه... لا يمكن إنهاء بحث الشجرة الجزئية (7) حتى نطبق خوارزمية البحث على
الشجرة الجزئية (2) و (4) ولا يمكننا إنهاء بحث في الشجرة الجزئية (2) حتى نبحث في
الشجرة الجزئية (3) وهكذا...
ولإكمال الحل علينا الآن بحث في الشجرة الجزئية (4) وبالتالي علينا بحث في الشجرة
الجزئية (5) و (6) على الترتيب وبالتالي ينتج لدينا "!و 0 .
ونطبق نفس الخوارزمية على (7) وهذا سيعطي السلسلة .1 111116 وتكون سلسلة البحث