؟] أوجد المعادلة التفاضلية التي تمثل الخطوط المسنتقيمة
الغير موازية لمحور الصادات «( بحيث أن نقطة الأصل تبعد
عن هذه الخطوط بمقدار ثابت ىن
غير موازية لمحور الصادات
() جاع + مز بر
وبما ان البعد بين هذه الخطوط
المستقيمة ونقطة الأصل هو مقدار
ثابت «» فان
كل - معان
وبما ان [ن | قيمة مطلقة فإن 1 + 1:3/» « لأبد ان تكون موجبّة
1+ ادن دجي
نعوض ب 1 + 1:2/ ن - م في المعادلة (+) 2
حيث ان « بارمّر : :[ثابت اختياري وحيد فان المعادلة
التفاضلية المطلوبة من الرتبة الأولى ولإيجادها نتبع الأني :-
معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى ومن الدرجة الثانية وهي
معادلة تمثل الخطوط المسنتقيمة الغير موازية لمحور الصانات ز«ز
بحيث أن نقطة الأصل تبعد عن هذه الخطوط بمقدار ثبت ىن
لا تحين المجد تمراً انت اكله
‎١|‏ ] أوجد المعادلة التفاضلية التي تَمثل الدوائر التي مركزها
انقطة الأصل في المسنتوى 7[ :1
‏أنطم أن معادلة الدائرة
‏التي مركزها نقطة الأصل
ونصف قطره ‎(٠‏ هي :-
‏راق
‏حيث هذه المعادلة تمثل الحل
العام للمعادلة التفاضلية
الأولى لإحتوائ الحل العام على
ثابت اختياري وحيد هو 7
‏0 - عل + برل برد
‏وهذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى ومن الدرجة الأولى
‏وه يتمثل الدوائر التي مركزها نقطة الأصل في المسنتوى ز( بد
‏أوجد المعادلة التفاضلية التي تل الدوائر التي مركزها
يقع على الخط المسنتقيم ««- - «زوتمر بنقطة الأصل في
‏نفرض ان مر ىز الدافئرة
(0,1) ونصف قطرها 7
افان معادلة الدانمسرة
تكيون بلصسورة
اوبما ان المركز يقع على الخطه
المستقيم ب«- - «ز فإن المركز 7
سوف يصبح النقطة (ده-»ه)
‏لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر

حلول تمارين [ طرق حل المعادلات التفاضلية ‎)١(‏ ]
وحلية ان معادلة الدائرة تصبح بالصورة :.
وبما ان الدائرة تمر بنقطة الأصل ثان نقطة الأصل تحقق
وعلية فين معادلة الدائرة (الحل العام للمعادلة التفاضلية ]
تصبح بالصورة :-
حيث » ثابت اختياري وحيد وحلية فان المعادئة التفاضلية
المطلوبة تكون من الرتبة الأولى يُتَم ايجادها بانتالي :-
من المعادلة (2) نجد انث
ابرع -ع - ابو ير + عد
من المعادلة (1) نجد أن :-
توج ات برو تو قو وو ساق
قوقع تمع _
بالمقارنة بين المعادتتين («») و (+) نحصل على :-
توق _ تربع
هذه المعادلة معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى من الدرجة
الأولى
اعداد / وليد مسعد طاهر الأشعر:
4 جد المعادلة التفاضلية التي تمل الدوائر ذات نصف قطر
يساوي العدد 1
- قر ب 3 - 2(م + 0) + 2زم - 6) أنفرض ان مركز الدرة
التي نصف قطرها يساوي
[العدد 1 هي النقطة (ط,»)
وحلية فإن معادلة الداقرة . *
[تصبع بلصسورة
[المطلوبة ستكون من الرتب
|الثانية ولإيجادها تتبع الآتي:».
وج "ابرع + (ن - ب /انر2 + 2
به ب (ن- 1-0 هدم
من المعادلتين (1) , (2) نجد ان 2:-
“رمج د د ةوكر
من المعادلة (3) نجد أن :-
- (ن - ب في المعالة (0)
لا تبلع المجد حتى تلق الصبر

حلول تمارين [ طرق حل المعادلات التفاضلية ‎)١(‏ ]
ابرح (رية) (لر+)
“ابرح زر +1)
أوهذه المعادلة التفاضلية المطلوبة وهي من الرتبة الثنية من
تو - بورد ته -
جز ب ابرح 2( ‎ -‏ -1
دول
العوض في المعادلة (3) عن حب
اعداد / وليد مسعد طاهر الأشعر:
|الثوابت الاختيارية.
4 عبر
0ح “ابرع + الب بر2.
0 ح “ابرع + /"بوبر2
ومن الدرجة الأولى .
‏يوضحه الشكل المقابل هي
‏حيث و ثبت اختياري
ولإيجاد المعادلة التفاضلية
من المعادلة (1) نجد أن 2
‏- » في المعادلة (2) نحصل على
‏7 - 00 050 مسحت 7
وهذه المعادلة التفاضلية التي تمثل المنحنيات القلبية الممثلة
بالشكل اعلاه وهي من الدرجة الأولى والرتبة الاولى .
‏لا تبلع المجد حتى تلحق الصير

اختياريان هي الحل العام للمعادلة التفاضلية وأوجد حلدٌ يحقق
‏الحل العام آذن نشنتق الدالة المعطاة
0 - أبرير - “ارود - ااي يزيد أشحصل على :+
أولإيجاد الحل الذي يحقق الشروط الإبدائية
‏2- ()/ر , 1 - (ثار
ألعوض في الحل العام عن كل 1 - زر 8 1 - بر فتحصل على
ف عرب
دون خش
من (1) نعوض في (2) أفحصل على : _
‏لعوض عن رن ,وم في الدالة *:62. - «( لالحل العامإننجد
1و توت و
وهو الحل الوحيد الذي يحقق الشروط الابتدائية
1م عين بإثبات الحل للمعدلة التفاضلية من الدوال التالية
‎١‏ 61 3 تمعين + تون در
حلم بأن الثوابت و2. .© , رن اختيارية
ب) بين نوع كل حل للمعادلة التفاضلية في الفقرة [
ج) حل مسألة كوشي المكونة من المعادلة التفاضلية المعطاة
والشروط الإبتدائية
‏اولا/ نتأكد هل الحل رقم ‎)١‏ يتتبر حلا للمعادلة
|التفاضلية المعطاة في التمرين والتي هي من الرتبة الشاشة
لذالك فإننا نقوم بمفاضلة الحل
عق دوعي + *2عن - ««ثلاث مرات ( لمذا ؟]
3 تدعون تون نو
‏لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر

مسقعمعن + )18
وحلية فإن الحل 611 دار 3 رودن + 2ن - بز يعبر
ثنيا / نتأكد هل الحل ركم (؟) ينتبر حا للمعادلة التفاضلية.
المعطاة في التمرين والتي هي من الرتبة الثلثة لذلك فإننا نقوم
6 دلا عق اع +3 تمعن + #ثون در
ثلاث مرات عط
عق اعون +3 تمعن + #ثون د و
6 امار ع3 انوي +3 تمعن + #ثون - بو يبر
أثاشا / تتأكد هل الحل رقم (3) يعبر حاذٌ للمعادلة التفاضلية.
المعطاة في التمرين والتي هي من الرتبة الثاثة لذلك فإشا نقوم
أبفاضلة الحل 18 عدار غير + 2#و ع - برثلاث مرات :-
اعداد / وليد مسعد طاهر الأشعر:
مع قر مقع . لا يحبر حلا للمعادثة
با ١ه‏ ع3 تمعن + تثون ابر
هما 6 ,رم على اعتبار اننا عوضنا عن الثابت الأخير
يصفر 0 - وعم
حل عام للمعادلة التفاضلية لاحتوائه على ثوابت
حصلا عليه سابقا في نفس التمرين الفقرة ([] رقم [1)
نو دوجن 1د 1 - (0)لر
بحل نظام هذه المعادلات نحصل على :-
لا تلع المجد حتى تلحق الصير

العوض بقيم الثوابت ر© رون روم في الحل العام
3 ىون + 3 كمدين + “62 ن - «(أشحصل على :.
وهذا الحل هو حل لمسألة كوشي ويتبر حلا خاصا وحيدا
الذي يحقق الشروط الإبتدائية (1) 22 ده 7
5 0 0 - لم ين انر جرع د
هار 1 (0)لر 1 (0ار 0 عرقت توج
أتمرين ‎١‏ صفحة ‎١‏ :-وجد المعادلة التفاضلية التي تمل
الخطوط المستقيمة التي لا تمر بنقطة الأصل وميلها يساوي
بزء المقطوع من محور السينات بد +
بضرب طرفي المعادلة (3) في /لإنحصل على :م
من المعادلة (2) نجد أن د - (ط - نر بر
تحصل على
انط م أن الخطوط المستقيمة
التي تقطع محور السينات
© + :ل( - لز والنقطة 3
المسنتقيم نعوض في المعلالسة ‎)١‏ حل مسألة كوشي الآنية ع
ع +1 - برعن 1 + جح اتوير
0 - تر , ع1 - د ففحصل على :- 3 - (0)<
“يا - - ع ج ع + 1:2 - 0 فتصبح المعادلةأبالصورة
2 - :رما - بر وهذه المعادلة تمثل الحل العام للمعادلة.
ولإيجادها نتبع الآني :-
|اولاً / نوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية 1 + عر - بر بز
جو( +) دير برج 1 ججح عار
ا الا ب قا - عط دلا
“ابرح بو امور د
وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الشقية والرتبة الأولى
الحل العام م 0 22+26 + 3/22 بز
أنعوض في الحل العام عن 3 - «ز , 0 - ير ففحصل على
الدوائر التي مركزها يقع على محور الصادات «زر
الدائرة التي مركزها يقع على محور الصادات ونصف قطرها 1
اتعطى بلصورة
لا تحمين المجد ثمراً انت اكله لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر

- م في الحل العام لتحصل على الحل الوحيد
لمسالة كوشي ( لعدم وجود طول شاذة]
لا توجد حلول شاذة لعدم وجود استثاءات
؟) للمعادلة التفاضلية 57110 دحتم أوجد الحل العام
أبحث الحلول الشاذة (إن وجدت ) ؟
!] حل المعادلة التفاضلية 2
نحسب التكامل ب ] - :1 بإستخدام الكسور الجزنية
ا جر -40 جلا لق
هجوز مزح
لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر

ويمكن وضع الحل العام على الصورة
لابضاء
للبحث عن الحلول الشادة ندرس الامنشاءات
اول ندرس الحالة 0 - بز
نعوض في الحل العام 1 عن 0 - و فتحصل على 0 - ©
أثانيا / ندرس الحالة 1 - نز
نعوض في الحل العام 2 عن 1 - /وأتتحصل على 0 - 308
0 - ترك برتعز*” -1) + دك هئ *30
أ أوجد الحل العام وأبحث عن الحلول المنفردة (إن
ب أوجد المنحنى التكاملي المار بلنقطة (27- , )111
الحل العام :
0- مووز جسم 3
قف )1 - معطا
للبحث عن الحلول الشاذة ندرس الحالة 0 - 20112
فلاح ظ أن الحل 0 - 3( 2012 يعتبر حلا خاصاً لأننا تحصل
حلية عند التعويض عن 0 - م في الحل العام
وعلية فإن 1 6 1 : 7 - برج 0 - برع
لا تحين المجد ثمراً انت اكله
أب]لإيجاد المنحنى التكاملي المار بلنقطة (27- , 7) 111
العوض في الحل العام عن كل من 27- - و ,
أأفحصل على :-
أنعوض عن 0 - م في الحل العام فتحصل :-
2- - برج 1-2
وحلية فإن المنحنى التكاملي المار بلنقطة (27- , )111
تكاملي وحيد 7(
5 حل المعادلة التفاضلية بر - بور - ابر
عهزد - شرام د مره ج مطتودع
+1 بر بشر عه مح حب
واكم بح [ - ,1 باستتخدام طريقة الكسور
بالمقارنة بين المعاملات بين الطرفين نجد أن :-
لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر

وم رضي 1 بر
1+ او - (نجو )ار |!
َ برج
للبحث عن الحلول الشاذة ندرس الحالة
مخدججور - دج -1 عر
أولا / ندرس الحالة 1 - بز
المعطاة
نيا / ندرس الحالة 1- < بر
لعوض في الحل العام2 عن 1- - بز أتحصل على :-
محن 20203
المعطاة
لا تحين المجد ثمراً انت اكله
؟) حل المعادلة التفاضلية 2
0ح تضم جمد برك رتوو
اب(و«20_بشرط
الحل العام
تدك - بحسم
اللبحث عن الحلول الشاذة ندرس الحالة 0 - تررتمع
عليها عند التعويض في الحل العام عن الثابت 0 - م
‎٠‏ حل مسالة كوشي ء
‏” أوحلية لا توجد حلول شاذة للمعادلة التفاضلية المعطاة
‏0 - برج ابر
‏لا تبلع المجد حنى تلعق الصبر