قاعدة شبه المنحرف البسبطة
فاعدة سمسون البسبطة
تقدير الخطا
صبع التكامل المركبة
فاعدة شبه المنحرف التركيبية
تقدير الخطا في قاعدة شبه المنحرف التركيبية
نظرية لتحسين قاعدة سميسون التركيبية
تقدير الخطا في قاعدة سميسون التركيبية
تكامل رومتبرج
خواررمية ويج
تكامل رومتيرج
تقدير الخطا في تكامل رومبيرج
الفصل الثامن
المحددات والمصفوفات
الموضوع
المحددات والمصقوفات
تعريف المصقوفات
علبات على المصفوفات
الجمع والطرح
اضرب مصفوفة في عدد حفيقي او القدمة عليه
ضرب صف في عمود المصفوفات
ضرب مصفوفتين
بض المصقوفات الخاصة
المصفوفة المربعة
تعريف المحدات
احباب المحدات (2 8 2
احباب المحددات (3 * 3
مطوب المستقرفة
مركز تقل الاجسام
الموضوع
مركز تفل الاجسام
التسلسل

9-1 . | ملاحظات هامة حول ابجاد مركز الت 140
2 | مركز تل الجسم 151
3 . |مركز تل المساحات 157
4 .| الصفائج والمساحات المركبة 157
5 | ابجاد مركز التق بالتكامل 159
96 مركز نط الحجوم. 162
الفصل العاشر
عزم القصور الذاتي
الصفحة الموضوع التسلسل
0 | عزم الفصور الذاني 174
10-1 |تريف 174
2 | عزم الفصور الذاني 75
10-3 | نظرية المحور العمود 176
10-4 | نصف فطر الفصور الذاني 176
10-5 | نظرية المحاور المتوازية 178
6 | حزم الفصور الذائي للمساحات 188
10-8 | املةمتنوعة 191
المصادر 206
الرموز في الرياضيات 21

الفصل الاول
متمة في أأرياضيات

1. مقدمة في الرياضيات الرياضيات
للقضايا والأنظمة الرياضية . وهي واحدة من أكثر أقسام المعرفة الإنسائية فائدة وإ ثارة . ويعزى سبب صعوبة
تعريف كلمة رياضيات إلى المواضيع العديدة التي تشملها . وتشمل الرياضيات الأساسية التي تدرس بالمدارس +
دراسة الأعداد والكميات والصيغ والعلاقات . فعلى سبيل المثل ؛ يدرس الحساب مسائل تتعلق بالأعداد +
ويتضمن الجبر حل معادلات ( وهي صيغ رياضية تقوم على المساواة ) تمثل الأحرف فيها كميات مجهولة . بينما
تدرس الهندسة خواص وعلاقات الأشكال في الفضاء .
أما الحوسبة فهي حل مسائل رياضية تتضمن إجراء العديد من العمليات العددية . والحاسوب أداة رياضية تقوم
بالعمليات الحسابية بسرعة عالدة . ويستخدم علماء الرياضيات الحاسوب لإجراء العمليات الحسابية المعقدة خلال
دقائق قليلة ؛ والتي قد يتطلب إجراؤها آلاف السئين باستخدام القلم والورقة .
وتتطلب الرياضيات مهارات أهمها : التحليل الدقيق ؛ والتعلدل الواضح ؛ وتساعد تلك المهارات الناس على حل
بعض الألغاز الصعبة التي تواجههم .
وتبنى الرياضيات على المنطق ؛ فانطلاقا بفرضيات
لاستخراج النتائج وتطوير نظم رياضية متكاملة .
على نطاق واسع ؛ استخدم علماء الرياضيات المنطق
1-1. أهمية الرياضيات
وتهتم الرياضيات البحتة بتطوير المعرفة الرياضية لذاتها دون اعتبار لتطبيق حالى عاجل ؛ فمثلا ؛ قد يبتدع أحد
علماء الرياضيات عالما خياليا لكل شيء فيه أبعاد أخرى غير الطول والعرض والارتفاع . وتهتم الرياضيات
التطبيقية بتطوير أسالدب رياضية لتستخدم في العلوم والمجالات الأخرى .
والحدود بين الرياضيات البحتة والتطبيقية ليست دائما واضحة . فغالبا ما تجد تطبيقات عملية لأفكار طورت في
ت دورا أساسيا في تطور التقنية الحديثة
كالأدوات .+ والتقنيات + والمواد + ومصادر_الطاقة التي جعلت حياتنا ‏ وعملنا أكثر يسرا
ف على الوقت ؛ وباقي نقودنا بعد شراء شيء ما ؛ وفي الأمور المعقدة كتنظيم ميزائية البيت أو تسوية دفتر
الشيكات . وتستخدم الحسابات الرياضية في الطبخ والقيادة والبستنة ؛ والخياطة ؛ ونشاطات عامة عديدة أخرى .
وتؤدي الرياضيات كذلك دورا في العديد من الهوايات والألعاب الرياضية .
في العلوم . للرياضيات دور هام في جميع الدراسات العلمية تقريبا إذ تساعد العلماء على تصميم تجاربهم وتحليل
اناتهم . ويستخدم العلماء الصيغ الرياضية لتوضيح ابتكاراتهم بدقة ؛ ووضع التنبؤات المستندة إلى ابتكاراتهم .
وتعتمد العلوم الفيزيائية ‎٠‏ كغيرها من العلوم مثل الفلك ؛ والكيمياء إلى حد كبير على الرياضيات . كما تعتمد
العلوم الإنسانية كالاقتصاد ؛ وعلم النفس ؛ وعلم الاجتماع بقدر كبير على الإحصاء وأنواع أخرى في
الرياضيات . فمثلا ؛ يستخدم الاقتصادي الحاسوب لتصميم رياضي للأنظمة الاقتصادية . وتستخدم نماذج
الحاسوب هذه مجموعة من الصيغ لمعرفة مدى التأثير الذي قد يحدثه تغير في جزء من الاقتصاد على الأجزاء
الأخرى .

في الصناعة . تساعد الرياضيات الصناعة في التصميم ‎١‏ والتطوير ‎١‏ واختبار جودة الإنتاج والعمليات
التصنيعية . فالرياضيات ضرورية لتصميم الجسور ؛ والمباني ؛ والسدود والطرق السريعة ؛ والأنفاق ؛ والعديد
من المشاريع المعمارية والهندسية الأخرى .
في التجارة . تستخدم الرياه في المعاملات المتعلقة بالبيع والشراء . وتكمن حاجة الأعمال التجار
الريا: في حفظ سجلات المعاملات كمستويات الأسهم ؛ وساعات عمل الموظفين ورواتبهم . ون
المتعاملون مع البنوك الرياضيات لمعالجة واستثمار سيولتهم النقدية . وتساعد الرياضيات كذلك شركات التأمين
في حساب نسبة المخاطرة وحساب الرسوم اللازمة لتغطية التأمين .
2-1. فروع الرياضيات
للرياضيات فروع عديدة . وقد تختلف هذه الفروع في نوعية مسائلها والتطبيقات العملية لنتائجها . وعلى أية
حال ؛ فغالبا مايشترك علماء الرياضيات العاملون في شتى الفروع في استخدام نفس المفاهيم والعمليات
الأساسية . - ويناقش . هذا . البند . بعض | الأنواع . الأساسية في الرياضيات -
الحساب
يشمل دراسة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة . وهو
الأساس لأنواع الرياضيات الأخرى حيث يقدم المهارات الأساسية متل العد وتجميع الأشياء والقياس
ومقارنة الكميات . انظر: جمع الأعداد ؛ الحساب ؛ علم ؛ القسمة ؛ الضرب ؛ الطرح .
الجبر
خلافا للحساب ؛ فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة ؛ إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفا مثل س وص +
تمثل كميات مجهولة . كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالدة ( الجذور التربيعية
للأعداد السالبة ) . انظر: الجبر ؛ الجذر التربيعي .
تدرس الهندسة خواص وعلاقات الأشكال في الفضاء . وتدرس الهندسة المستوية المربعات والدوائر والأشكل
الأخرى قي الممنتوى »إوتغبئ الإنسئة الفرائعية بدراسة الاشكل ذآت الابعاد الثلائة مثل المكعب والكرة
وفي حوالى 300 ق . م ؛ وضع عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس ‎١‏ تعاريف وفرضيات نظام للهندسة ب
العالم كما نعيشه . وفيما بعد طور علماء الرياضيات نظما بديلة للهندسة رفضت فرضية إقليدس المتعلقة
سبيل المثال في النظرية النسبية التي تعد واحدة من الإنجازات القيمة للتفكير العلمي .
الهندسة التحليلية وحساب المثلثات
تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة ؛ فهي تعطي تمثيلا لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحن . وتجعل من
الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية ؛ ومثال على ذلك : فإن المعادلة ( س - ص 2) تصف منحنى
ًِ القطع المكافئ . ويستخدم الفلكيون والبحارة والمساحون حساب المثلثات بشكل كبير لحساب الزوايا
والمسافات في حالة تعذر القياس بطريقة مباشرة . ويبحث حساب المثلثات في العلاق ضلاع وزوايا المثلث +
وعلى الأخص المثلث قائم الزاوية ( متلث إحدى زواياه 90 ؟ ) . وقسمى العلا بين أطوال ضلعين في مك
قاثم الزاوية بالنسب المثلثية . وباستخدام هذه النسب يمكن حساب الزوايا وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة من
الزوايا والأطوال الأخرى المعلومة . وتصف المعادلات المتضمنة لنسب مثلثية المن التي يستخدمها
الفيزيائيون والمهندسون لتحليل خواص الحرارة والضوء والصوت والظواهر الطبيعية الأخرى .

4-1 -1. تواريخ مهمة في الرياضيات
0ق . م استخدم قدماء المصريين النظام العشري . وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الا راضي .
0 ق . م عرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد ؛ التي مهدت لحساب التكامل .
0ق . م أنشاً إقليدس نظاما هندسيا مستخدما الاستنتاج المنطقي .
7 م ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية .
0م أطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة .
5 م استخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة للعدد الذي لا جذر له .
88 م وضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية .
2م استعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا لأول مرة .
9 م استغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ .
2 مترجم أديلارد من باث من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس ؛ ونتيجة لذلك
أضحت أعمال أقليدس معروفة جيدا في أوروبا .
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي . أدخل نظام الأعداد الهندية العربية إلى أوروبا نتيجة لترجمة كتاب
2 م لفت نصير الدين الطوسي الانتباه لأول مرة لأخطاء أقليدس في المتوازيات .
7 م اخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية .
5 م وضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزا لعلم الجبر بدلا عن الكلمات .
4م استخدم علم الرياضيات الهولندي فاندر هوكي اشارتي الجمع (+ ) والطرح (-) لأول مرة في الصيغ
الجبرية .
3 م أسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس ؛ حساب المتلثات كفرع مستقل عن الفلك .
7 م أدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (-) في الرياضيات معتقدا أنه لا يوجد
مساواة من زوج من الخطوط المتوازية .
4م نشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات ؛ التي تساعد في تبسيط الحسابات .
7 م نشر رينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية ؛ مقررا أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل .
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشرالميلادي . نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة
مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاضل والتكامل .
7 م قام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية .
2م وضع كريستين جولدباخ ما عرف بحدسية جولدباخ : وهو أن كل عدد زوجي هو مجموع عددين أولبين
. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحتها أو خطتها .
3 م أدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795 م يعمل في الاستخبارات العسكرية
بداية القرن التاسع عشر الميلادي . عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولياي ؛ نقولا
لوباشيفسكي ؛ وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية .
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر . بدا تشارلز بباج في تطوير الآلات الحاسبة .
2 م أدخل جين بابتست فوربيه تحليل فوربيه .
9 م أدخل إفاريست جالوا نظرية الزمر .
يمكن أن يكون أكثر
2ع ال5ف48) علاف8 م701 طقاباع :0

4 م نشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي .
1 م أدخل جوشياه ويلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد .
98م طور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدما عبارتين غير معروفتين وسبع
مسلمات
1913-0 م نشر ألفرد نورث وايتهيد وبرترائد رسل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فيه أن كل الفرضيات
الرياضية يمكن استتباطها من عدد قليل من المسلمات .
2 بدأل . ي . ج . برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية
1 م نشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر .
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي . أثبت كورت جودل أن أي نظام من المسلمات يحوي جملا
7 ع قدم ألان تورنج وصفا ل " آله تورنج " وهي حاسوب الى تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960 م دخلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول .
4م طور روجر بفروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط . واكتشف فيما بعد أن
نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة .
سبعينيات القرن العشرين ظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية ؛ واستخدمت في التجارة والصناعة
والعلوم .
1980م بحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية ‎٠‏ وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة
5-1 الإغريق والرومان
يعد علماء الإغريق أول من اكتشف الرياضيات البحتة بمعزل عن المسائل العملية . أدخل الإغريق الاستنتا.
المنطقي والبرهان ؛ وأحرزوا بذلك تقدما مهما من أجل الوصول إلى بناء نظرية رياضية منظمة . وتقليديا يعد
الفيلسوف طاليس أول من استخدم الاستنتاج في البرهان ؛ وانصب جل اهتمامه على الهندسة حوالى 600 ق .م .
اكتشف الفيلسوف الإغريقي فيثاغورث ؛ الذي عاش حوالى 550 ق . م . ؛ طبيعة الأعداد ؛ واعتقد أن كل شيء
يمكن فهمه بلغة الأعداد الكلية أو نسبها . بيد أنه في حوالى العام 400 ى . م . اكتشف الإغريق الأعداد غير
القياسية ( وهي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها كنسبة لعددين كليين ) ؛ وأدركوا أن أفكار فيثاغورث لم تكن
متكاملة . وفي حوالى 370 ق . م . صاغ الفلكي الإغريقي يودوكسوس أوف كنيدوس نظرية بالأعداد غير
القياسية وطور طريقة الاستنفاد ؛ وهي طريقة لتحديد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات ؛ مهدت لحساب
التكامل . وفي حوالى 300 ق . م قام إقليدس أحد أبرز علماء الرياضيات الأغريق بتالدف كتاب العناصر ؛ إذ أقام
نظاما للهندسة مبنيا على التعاريف التجريدية والاستنتاج الرياضي . وخلال القرن الثالث قبل الميلاد 0
الرياضيات الإغريقي أرخميدس طريقة الاستنفاد ؛ مستخدما مضلعا من 96 ضلعا لتعريف الدائرة ؛ حيث أوجد
قيمة عالدة الدقة للنسبة التقريبية باي ( وهي النسبة بين محيط الدائرة وقطرها ) . وفي حوالى العام 150 قى . م .
استخدم الفلكي الإغريقي بطليموس الهندسة وحساب المثلثات في الفلك لدراسة حركة الكواكب ‎١‏ وتم هذا في

أعماله المكونة من 13 . عرفت فيما بعد بالمجسطي أي الأعظم . وأظهر الرومان اهتماما ضئيلا
بالرياضيات البحتة ؛ غير أنهم استخدموا المبادئ الر في مجالات كالتجارة والهندسة وشؤون الحرب .
1 - 6. الرياضيات عند العرب
قام علماء العرب المسلمون بترجمة وحفظ أعمال قدامى الإغريق من علماء الرياضيات بالإضافة إلى إسهاماتهم
المبتكرة وألف عالم الرياضيات العربي الخوارزمي كتابا حوالى عام 210 8 825 م ؛ وصف فيه نظام العد
اللفظي المطور في الهند . وقد استخدم هذا النظام العشري قيما للمنزلة وكذلك الصفر ؛ وأصبح معروفا بالنظام
العددي الهندي العربي كما ألف الخوارزمي كذلك كتابا قيما في الجبر بعنوان كتاب الجبر والمقابلة ؛ وأخذت
الكلمة الإنجليزية من عنوان هذا الكتاب .
وفي منتصف القرن الثاني عشر الميلادي أدخل النظام العددي الهندي العربي إلى أوروبا نتيجة ترجمة كتاب
عزز من مكانة هذا النظام . وحل هذا النظام تدريجيا محل الأعداد الرومانية في أوروبا .
وقدم فلكيو العرب في القرن الرابع الهجري ؛ العاشر الميلادي إسهامات رئيسية في حساب المتلثات . واستخدم
الفيزيائي العربي المسلم الحسن بن الهيثم أبو على خلال القرن الحادي عشر للميلاد الهندسة في دراسة الضوء .
وفي القرن الثاني عشر الميلادي ألف الشاعر والفلكي الفارسي عمر الخيام كتابا هاما في الجبر . وو
عالم الرياضيات الفارسي نصير الدين الطوسي في القرن الثالث عشر الميلادي نموذجا رياضيا إبداعيا يستخدم
في الفلك .
7-1. عصر النهضة الأوروبية
بدا المكتشفون الأوروبيون في القرنين الخامس عشر والسادس عشر البحث عن خطوط تجارية جديدة لما وراء
البحار مما أدى إلى تطبيق الرياضيات في التجارة والملاحة ؛ ولعبت الرياضيات كذلك دورا في الإبداع الفني +
فطبق فنانو عصر النهضة مبادئ الهندسة وابتدعوا نظام الرسم المنظوري الخطي الذي أضفى الخداع في العمق
وال على لوحاتهم الفنية ؛ وكان لاختراع الطباعة الالدة في منتصف القرن الرابع عشر الميلادي أثر كبير في
سرعة انتشار وإيصال المعلومات الرياضية . وواكب النهضة الأوروبية كذلك تطور رئيسي في
الهندسة كمجال منفصل عن الفلك . وحقق عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت تقدما في الجبر ؛ وظهر هذا
في كتابه الذي نشر عام 1591 م.
1- 8. الرياضيات والثورة العلمية
مع حلول القرن السابع عشر ؛ ساهم ازدياد استخدام الرياضيات ونماء الطريقة التجريبية في إحداث تغيير جذري
الشمس وليست الأرض هي مركز الكون . وأحدث كتابه اهتماما متزايدا في الرياضيات و . وعلى
الأخص في دراسة حركة الأرض والكواكب الأخرى . وفي عام 1614 م نشر لح الاي
نابيير اكتشافه للوغاريتمات وهي أعداد تستخدم لتبسيط الحسابات المعقدة كتلك المستخدمة في الفلك . ووجد الفا
الإيطالى جالدليو الذي عاش في نهاية القرن السادس عشر وبداية القرن السابع عشر أنه يمكن دراسة أنواع كث
لحركة الكواكب رياضيا .

حساب التفاضل والتكامل والتحليل
له تطبيقات عدة في الهندسة والفيزياء والعلوم الأخرى . ويمدنا حساب التفاضل والتكامل بطرائق لحل عديد من
المسائل المتعلقة بالحركة أو الكميات المتغيرة . ويبحث حساب التفاضل في تحديد معدل تغير الكمية . ويستخدم
لحساب ميل المنحنى والتغير في سرعة ال أما حساب التكامل فهو محاولة إيجاد الكمية بمعلومية معدل
تغيرها ؛ ويستخدم لحساب المساحة تحت منحنى ومقدار الشغل الناتج عن قوة متغيرة . وخلافا للجبر ‎١‏ فإن
باب التفاضل والتكامل يتضمن عمليات مع كميات متناهية الصغر ( كميات صغيرة ليست صفرا ولكنها أصغر
من أي كمية معطاة ) . انظر: حساب التفاضل والتكامل . ويتضمن التحليل عمليات رياضية متعددة تشمل اللانهاية
والكميات المتناهية الصغر . ويدرس التحليل المتسلسلات اللانهائية وهي مجاميع غير منتهية لمتتابعات عددية أو
اصيغ جبرية . ولمفهوم المتسلسلات اللانهائية تطبيقات مهمة في مجالات عدة مثل دراسة الحرارة واهتزازات
الاحتمالات والإحصاء
الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما . ويستخدم لتحديد فرص إمكانية وقوع حادث غير مؤكد
الحدوث . فمثلا ؛ باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميات لقطع نقدية ‏
الإحصاء
فهو ذلك الفرع من الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة . ويعتمد
الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات . وتزود الطرق الإحصائية الحكومات ؛ والتجارة ؛ والعلوم بالمعلومات .
فمثلا ؛ يستخدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز .
3-1 نظرية المجموعات والمنطق
تبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات . والمجموعة هي تجمع من الأشياء ؛ قد تكون
أعدادا ‎٠‏ أو أفكارا أو أشياء أخرى . وتكمن أهمية دراسة المجموعات في التحقق من المفاهيم الرياضية الأساسية.
أما في مجال المنطق وهو ذلك الفرع من الفلسفة التي تتعامل مع قواعد التعلدل الصحيح . فقد طور علماء
الرياضيات المنطق الرمزي . وهو نظام اصطلاحي للتعلدل يستخدم الرموز والطرق الرياضية . وقد استنبط
علماء الرياضيات نظما عديدة للمنطق الرمزي ؛ كانت لها أهميتها في تطور الحاسوب .
4-1 . نبذة تاريخية
الحضارة القديمة . من المحتمل أن أناس ما قبل التاريخ بدأوا العد أولا على أصابعهم . وكان لديهم أيضا طرائق
متنوعة لتدوين كميات وأعداد حيواناتهم أو عدد الأيام بدءا باكتمال القمر . واستخدموا الحصى والعقد الحبلية
والعلامات الخشبية والعظام لتمثيل الأعداد . وتعلموا استخدام أشكال منتظمة عند صناعتهم للأواني الفخارية أو
رؤوس السهام المنقوشة . واستخدم الرياضيون في مصر القديمة قبل حوالى 3000 عام ق . م . النظام العشري
( وهو نظام العد العشري ) دون قيم للمنزلة . وكان المصريون القدماء روادا في الهندسة ؛ وطوروا صيغا لإيجاد
المساحات وحجوم بعض المجسمات البسيطة . ولرياضيات المصريين تطبيقات عديدة تتراوح بين مسح الأرض
بعد الفيضان السنوي إلى الحسابات المعقدة والضرورية لبناء الأهرامات . وقد طور البابليون القدماء في 2100
بالساعات والدقائق والثواني . ولا يعرف المؤرخون بالضبط كيف طور البابليون هذا النظام ؛ ويعتقدون أنه
حصيلة استخدام العدد 60 كأساس لمعرفة الوزن وقياسات أخرى . وللنظام الستيني استخدامات هامة في الفلك
لسهولة تقسيم العدد 60 وتفوق البابليون على المصريين في الجبر وا

لهندسة .