مبرهنة فيتاغورث: مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين يساوي مربع طول الوتر
(لحساب طول ضلع في المثلث علم طولا ضلعيه الباقيتين)
عكس مبرهنة فيتاغورت: إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعين في مثلث مساويا
مربع طول الضلع الثالثة فإن المثلث قائم الزاوية وتره تلك الضلع (لإثبات أن المثلث قئم)
طول الضلع المقابلة للزاوية "30 يساوي نصف طول الوتر
فإن قياس الزاوية الحادة المقابلة لهذه الضلع تساوي”30
الخط المتوسط المتعلق بالوتر يساوي إلى نصف طول الوتر
(لحساب طول المترسطع
(العكس لاثبات أن المثلث قائم): اذا كان طول المتوسط المتعلق بضلع في مثلث مساوياً
نصف طول تلك الضلع كان المثلث قائماً وتره تلك الضلع
وتر المثلث القائم قطر للدائرة المارة برؤوسه (مركزها متتصف هذا الوتر)
محيطه 2 مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة
مساحته # نصف جداء طولي ضلعيه القائمتين
الوثلث الوتساوي الساهين:
«_الارتفاع المتعلق بالقاعدة هو متوسط و منصف ومحور بآن معاً
إذا كان الارتفاع في مثلث هو منصف أو متوسط كان المثلث متساوي الساقين

الوثلث الوتساوي النضلاج:
هو مثلث تساوت أطوال أضلاعه وتساوت قياس زواياه؛ فيه:
كل ارتفاع فيه هو منصف و متوسط ومحور بآن معاً
إذا كان المتلث متساوي الساقين وقياس إحدى زواياه ”60 كان هذا المثلث متساوي الأضلاع
ارتفاع المتلث المتساوي الأضلاع: 522 ‎ -‏ - 417 (حيث » طول الضلع)
نصف قطر الدائرة المارة من رؤوسه (88) يساوي إلى ءٌّ من طول الارتفاع : 2253 - ب[ - 135
(مركز الدائرة المارة برؤوسه هي نقطة تلاقي محاور أضلاعه)
تسريف: ابق متلثين اذا تساوت عناصر أحدهما مع العناصر المقابلة من المثلث الآخر
(عناصر مثلث هي ستة: أطوال أضلاعه وقياسات زواياه)
ملاحظة: تطابق الزوايا ليس مقياس بل هو نتيجة من التطابق
يتطابق مثلثان إذا تساوت أضلاع المتلث الأول مع أطوال أضلاع المثلث الآخر
يتطابق مثلثان إذا تساوى طولا ضلعين والزاوية المحصورة بينهما من الأول مع مقابلاتهما في الثاني
ه يتطابق متلثان إذا تساوى طول ضلع وقياسا الزاويتين المجاورتين لهذا الضلع من الأول مع مقابلاتها في
المثلث الآخر
حالة 5قحيق: تطابق المتلثين القائمين:
يتطابق مثلثان كل منهما قائم الزاوية إذا تطابق وتر وضلع قائمة من أحدهما مع مقابلاتهما من الآخر

ه إثبات تساوي الأطوال
إثبات تساوي الزوايا
«_ المستقيم الذي يوازي ضلعا في مثلث ويمر من منتصف ضلع أخرى يمر أيضا من منتصف الضلع الثالثة
(العكس): المستقيم المار بمنتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالثة ويساوي نصف طولها
كيف نستفيد من وببهاتي ولتصفي الضلعين ؟ "
إثبات توازي مستقيمين
‎٠‏ إثبات أن نقطة تقع في منتصف قطعة مستقيمة
‏ء حساب الأطوال
‏أرجو عند تقل الموضوع ذكر المصدر وصاحب العمل وعدم التحوير فيه واستغلله تجار

شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين؛ خواصه:
ء كل ضلعين متقابلين طبوقين وكل زاويتين متقابلتين طبوقتين
قطراه متناصفان (ولكنه غير قابل للارتسام في دائرة)
نقطة تلاقي قطريه هي مركز تناظر له
محيطه - مجموع قياسات أطوال أضلاعه
مساحته - طول قاعدة في الارتفاع المتعلق بها
هو متوازي أضلاع (له خواص متوازي الأضلاع) أضلاعه طبوقة؛ خواصه:
»كل قطر في المعين يقسم المعين إلى مثلثين طبوقين
كل قطر ينصف الزاويتين المار برأسيهما
المعين متناظر بلنسبة لنقطة تلاقي قطريه وبالنسبة لأي قطر فيه
مساحته ‎ -‏ نصف جداء قطريه

هو متوازي أضلاع (له خواص متوازي الأضلاع) إحدى زواياه قائمة؛ خواصه:
» زواياه الأربع قائمة
قابل للارتسام في دائرة مركزها نقطة تلاقي قطريه
المستطيل متناظر بالنسبة لمحور أي ضلع فيه
مساحته - الطول # العرض
هو مستطيل تساوى بعداه (له خواص المستطيل)؛ يضاف إليها:
ه قطراه متعامدان
شيم #واحرف:
ء القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي الضلعين المائلتين تدعى القاعدة الوسطى
وطولها يساوي إلى نصف مجموع القاعدتين
1) إذا تساوى طولا الساقين دعي شبه منحرف متساوي الساقين
2) إذا كان أحد الضلعان المائلان عمودي على القاعدتين دعي شبه منحرف قائم

« محيط شبه المتحرف - مجموع أطوال أضلاعه
مساحته - نصف (مجموع القاعدتين) * (الارتفاع) - ( القاعدة الوسطى) #( الارتفاع)
معلومات عن الدائرة:
« من ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة يمر داترة واحدة فقط
مركز الدائرة هو مركز تناظر لها و قطر الدائرة محور تناظر لها
مركز الدائرة المارة برؤوس مثلث هي نقطة تلاقي محاوره
مركز الدائرة المارة بنقطة يقع على محور تلك النقطة في منتصفها
المماس للدائرة عمودي على نصف قطرها في نقطة التماس
اذا اختلف طولا وترين في دائرة اختلف بعدا المركز عنهما ويكون الوتر الاقرب الى المركز هو الأطول
محيط الدائرة - 27/8 ؛ مساحة الدائرة - 782 (حيث 7 نصف القطر)
العمودان على مستقيم واحد متوازيان
المستقيمان الموازيان لثالث متوازيان
المستقيم القاطع لأحد مستقيمين متوازيين يقطع الآخر
العمود على أحد مستقيمين متوازيين عمود على الآخر

التحويلات المندسية
الانسحاب ينقل كل نقطة في المستوي المسافة ذاتها بالاتجاه ذاته
مثال: في الشكل المجاور
- إن النقطة 8 صورة النقطة 4/ وفق الانسحاب من 4/ إلى 9[
- إن النقطة 1 صورة النقطة © وفق الانسحاب من 6 إلى [
- إن القطعة المستقيمة 870 صورة القطعة المستقيمة 10, وفق الانسحاب من 4 إلى 8[
«_الانسحاب يحافظ على الأطوال (810 - 46)
« صورة مستقيم وفق انسحاب هي مستقيم يوازيه
(لرسم صورة مستقيم وفق انسحاب يكفي رسم صورة نقطة منه؛ ثم نرسم منها موازياً للمستقيم)
ه صورة الدائرة (0)0,7 وفق انسحاب من 4 إلى 8[
هي الدائرة (61)0/,7 حيث:
نكتفي برسم صورة مركزها؛ ولهما نفس نصف القطر
الانعكاس في نقطة:
وصورة 0 هي 0 ذاتها في هذا الانعكاس
ادال
الانعكاس على محور: 1«
الانعكاس على محور 0 يعين لكل نقطة 4 من المستوي غير واقعه على المحور 8 صورة '4/ بحيث يكون
محور '4/4/ ؛ وصورة كل نقطة من المحور / هي نفسها

- إن النقطة '4ر صورة النقطة ر بالانعكاس على المحور 8
- إن النقطة “8 صورة النقطة ي بالانعكاس على المحور 8
- صورة النقطة 0 بالانعكاس على المحور 8/ هي نفسها النقطة 0
- إن القطعة المستقيمة '4'8ر صورة القطعة المستقيمة 188/ بالانعكاس على المحور 8/
- إن المتثلث 4/0 صورة المثلث 40 بالانعكاس على المحور /
(لايجاد صورة أي مضلع وفق انعكاس نوجد صورة كل نقطة من نقاطه)
الانعكاس يحافظ على الأطوال (418/ - '4/8) وبالتالي الشكل ينطبق على صورتهة
» الانعكاس يحافظ على التوازي
الانعكاس في مستوي الاحداثيات:
- بالانعكاس في محور التراتيب صورة النقطة (بر,:)04/ هي النقطة (بو ,ند -) 14
- بالانعكاس في محور الفواصل صورة النقطة (بر,»:) 14 هي النقطة (بر- ,1465
- بالانعكاس في مبداً الاحداثيات صورة النقطة (بر,) 4( هي النقطة (ب- ,)14
يكون للشكل محور تناظر إذا كانت صورته بالانعكاس وفق هذا المحور هي الشكل ذاته
ثال: للمعين محورا تناظر (هما المستقيمان الحاملان لقطريه)
يكون الشكل متناظراً بالنسبة في نقطة إذا كانت صورته بالانعكاس في هذه النقطة هي الشكل نفسه
وندعو هذه النقطة (مركز تناظر الشكل)
ثال: مركز الدائرة مركز تناظر لها والمربع متناظر بالنسبة إلى نقطة تقاطع قطريه

إذا كانت 0 نقطة تابتة في المستوي وكان » قياس زاوية
فالدوران الذي مركزه 0 وزاويته » واتجاهه بعكس جهة دوران عقارب الساعة
وصورة النقطة 0 وفق هذا الدوران هي 0 ذاتها
ملاحظة: الدوران بعكس جهة دوران عقارب الساعة يسمى دوران مباشر
و الدوران بجهة دوران عقارب الساعة يسمى دوران غير مباشر
»_ الدوران يحافظ على الأطوال والتوازي وقياس الزوايا
» التناظر الدورائي: اذا تطابق شكل مع صورته وفق دوران زاويته أقل من “360 نقول إن له تناظر دوراني
مثال: للمثلث المتساوي الأضلاع تناظر دوراني زاويته ”120